Загальне рівняння площини та його дослідження


НазваЗагальне рівняння площини та його дослідження
Дата конвертації10.02.2013
Розмір445 b.
ТипПрезентации


Загальне рівняння площини та його дослідження

Виконали:

Степанова Юлія, Фісенко Яна.

Покажемо, що алгебраїчною поверхнею першого порядку є площина. Для цього доведемо такі теореми.



Теорема 1. Площина в прямокутній Декартові системі координат визначається загальним рівнянням першого степеня відносно поточних координат.

Доведення. Геометрично будь-яку площину в просторі хуz можна задати за допомогою вектора , перпендикуляр­ного до цієї площини,

і точки M0 (x0, y0, z0) Через яку проходить дана площина.

Візьмемо довільну точку M (х, у, z) і знайдемо вектор . Точка M належить заданій площині тоді і тільки тоді, коли Тоді ;

Оскільки

то скалярний добуток можна записати у вигляді:

А(х – х0) + В(у – у0) + C(z – z0) = 0,

Або

Ах + By + Cz - (Aх0 + Ву0 + Cz0) = 0. (1)

Позначивши

- (AX0 + Ву0 + Cz0) = D

дістанемо загальне алгебраїчне рівняння першого степеня:

Ах + By + Cz + D = О,

Отже, будь-яка площина в декартових прямокутних координатах може бути зображена рівнянням першого степеня.

Отже, будь-яка площина в декартових прямокутних координатах може бути зображена рівнянням першого степеня.

Зауважимо, що рівняння

Ах + By + Cz - (Aх0 + Ву0 + Cz0) = 0

є рівнянням площини, яка проходить

Через точку M0 (х0, у0, z0) перпендикулярно до вектора = (А, В, С).

Доведемо тепер обернену теорему.

Теорема 2 Загальне рівняння першого степеня

Ax + By + Cz + D = 0, (3)

де А, В, С і D — довільні дійсні чи­сла; х, у, z — поточні координата, визначає в декартовій прямокут­ній системі координат площину. Доведення. Доберемо трійку чисел (х0, y0> z0), які задоволь­няють рівняння (3). Це можна зробити таким чином. Два числа х0 і у0 візьмемо довільно, а третє z0 знайдемо з рівняння (3). Тоді ,

Ах0 + Ву0 + Cz0 + D = 0. (4)

Віднімаючи від рівняння (3) рівняння (4), дістаємо А(х – х0) + В(у – у0) + C(z – z0) = 0. (5)

Це рівняння є рівнянням площини, перпендикулярної до векто­ра = (А, В, С) і такої, що проходить через точку M0 (х0, у0, z0). Таким чином, кожна площина є поверхнею першого порядку, і, навпаки, кожна поверхня першого порядку є площиною. Тому рівняння (l) або (3) називається загальним рівнянням площини.

Це рівняння є рівнянням площини, перпендикулярної до векто­ра = (А, В, С) і такої, що проходить через точку M0 (х0, у0, z0). Таким чином, кожна площина є поверхнею першого порядку, і, навпаки, кожна поверхня першого порядку є площиною. Тому рівняння (l) або (3) називається загальним рівнянням площини.

Рівняння ; =0 (6)

називається векторним рівнянням площини. Враховуючи, що векторне рівняння площини запишемо у вигляді:

, або

Якщо у загальному рівнянні площини покласти z – z0 = 0, то дістанемо рівняння,

А(х – х0) + В(у – у0) = 0, або Ах + By + С = 0, (7)

де С = - (Ax0 + Ву0). Рівняння ( 7) називається загальним рів­нянням прямої, що лежить у площині хОу.

Дослідження загального рівняння площини

Розглянемо загальне рівняння площини .

Ах + Вy + Cz + D = 0. (8)

де А, В, С і D — довільні числа, причому хоча б одне з перших трьох відмінне від нуля.

Дослідимо окремі випадки цього рівняння.

1 випадок

Якщо D = О, то рівняння (8) набирає вигляду;

Ах + By + Cz = 0 (9)

Це рівняння задовольняє точка О (0, 0, 0). Отже, рівняння (9) визначає площину, яка проходить через початок координат.

2 випадок

Якщо А = 0, то рівняння (8) має вигляд:

By + Cz + D = О (10)

і визначає площину, нормальний вектор якої = (О, В, С) перпен­дикулярний до осі Ох. Отже, рівняння (10) визначає площину, паралельну осі абсцис, або перпендикулярну до площини yOz.

3 випадок

Якщо А = В = 0, а С 0, то маємо рівняння площини, паралельної хОу:

Рівняння х = 0, у = 0, z = 0 визначають відповідно координатні площини yOz, xOz, хОу.


Схожі:

Загальне рівняння площини та його дослідження iconГрафіком рівняння з двома змінними називається безліч точок координатної площини, координати яких перетворюють рівняння у вірну рівність графіком рівняння з двома змінними називається безліч точок координатної площини,
Система имеет столько решений, сколько общих точек имеют графики. Графики могут не иметь общих точек, иметь одну, две или три общие...
Загальне рівняння площини та його дослідження iconРівняння з параметрами Підготували члени гуртка
Будь-який член рівняння можна переносити з однієї частини рівняння в іншу, змінивши його знак на протилежний
Загальне рівняння площини та його дослідження iconДослідження зв’язку між коренями і коефіцієнтами квадратного рівняння Квадратні рівняння
Числа х1 і х2 є коренями зведеного квадратного рівняння х2 +pх+q=0, тоді і тільки тоді, коли х1 +х2 = -p, х1х2 = q. Наслідок: х2...
Загальне рівняння площини та його дослідження icon’язують як звичайні рівняння чи нерівність доти, поки всі перетворення або міркування, необхідні для розв’
Кп площини, де значення координат Х і параметра а задовольняють заданій в умовах завдання співвідношенню F(Х;а)=0
Загальне рівняння площини та його дослідження iconОзначення квадратного рівняння. Неповні квадратні рівняння
Ввести означення квадратного рівняння та поняття неповного квадратного рівняння. Формувати вміння розв’язувати неповні квадратні...
Загальне рівняння площини та його дослідження iconТема уроку: Рівносильні рівняння. Рівняння-наслідок. Рівносильні нерівності
З означення випливає, що областю визначення рівняння f (X) = g (X) є множина d (f)  d (g)
Загальне рівняння площини та його дослідження iconНехай дано квадратне рівняння Нехай дано квадратне рівняння
Квадратні рівняння це фундамент, на якому зводиться велична будівля алгебри. Квадратні рівняння знаходять широке застосування при...
Загальне рівняння площини та його дослідження iconЛекція №1 Загальна схема наукового дослідження та форма представлення його результатів Загальна схема наукового дослідження
Назва наукової роботи має бути якомога коротшою, відповідати обраній спеціальності та суті вирішеної наукової проблеми (задачі),...
Загальне рівняння площини та його дослідження iconОзначає знайти всі його корені або довести, що їх немає. означає знайти всі його корені або довести, що їх немає
В даній презентації розглянуто означення рівняння, кореня рівняння; означення рівносильних рівнянь та їх властивості
Загальне рівняння площини та його дослідження iconСуспільство недовіри. Соціологи фіксують загальне зниження довіри українців до влади результати соціологічного дослідження (лютий-2011)
Суспільство недовіри. Соціологи фіксують загальне зниження довіри українців до влади

Додайте кнопку на своєму сайті:
dok.znaimo.com.ua


База даних захищена авторським правом ©dok.znaimo.com.ua 2013
звернутися до адміністрації
dok.znaimo.com.ua
Головна сторінка