§ простіші многогранники та їх перерізи геометрія 10 клас Простіші многогранники


Назва§ простіші многогранники та їх перерізи геометрія 10 клас Простіші многогранники
Дата конвертації06.02.2013
Розмір514 b.
ТипПрезентации


§ 2. ПРОСТІШІ МНОГОГРАННИКИ ТА ЇХ ПЕРЕРІЗИ

Геометрія

10 клас

Простіші многогранники



Многогранники

Прикладами просторових фігур є многогранники. Ви знаєте два їх види – пряму призму (мал. 55)

і піраміду (мал. 56).

Многогранники

Поверхня многогранника складається з плоских многокутників, які називаються його гранями. Звідси і походить назва «многогранник».

Грані прямої призми (піраміди) мають спеціальні назви – бічна грань та основа.

Бічними гранями прямої призми є прямокутники, а піраміди – трикутники.

У прямої призми дві основи, які є рівними многокутниками, а у піраміди – одна основа.

n-кутна призма (піраміда)

Залежно від того, який многокутник є основою, призму (піраміду) називають трикутною, чотирикутною чи n-кутною.

На малюнку 55 ви бачите шестикутну пряму призму АВСDEFА1В1С1D1E1F1 з основами АВСDEF і А1В1С1D1E1F1, а на малюнку 56 – чотирикутну піраміду SАВСD з основою АВСD. Прямокутний паралелепіпед (мал. 57) і куб (мал. 58) є окремими видами чотирикутної прямої призми.

Кожна грань прямої призми (піраміди) лежить у певній площині.

На малюнку 59 ви бачите, що точки А, В, С і D лежать у площині α, а точки X, Y і Z не належать їй.

Різні грані прямої призми (піраміди) лежать у різних площинах.

Будь-які дві сусідні грані мають спільний відрізок – ребро (мал. 60). Воно лежить на прямій перетину двох площин, що містять ці грані.

На малюнку 60 ви бачите, що точки ребра АD належать і площині α, і площині β.

Розрізняють бічні ребра і ребра основ (основи) прямої призми (піраміди).

У кожній вершині прямої призми сходяться три сусідні її грані (мал. 61 і 62). Наприклад, вершина А є точкою перетину площин α,  і γ (мал. 61), а вершина D – площин α,  і δ (мал. 62).

У прямої призми кожна вершина є вершиною однієї з її основ (верхньої або нижньої), бо у ній сходяться дві сусідні бічні грані й відповідна основа.

У піраміди одна з вершин є особливою – в ній сходяться всі її бічні грані.

Вона має спеціальну назву – вершина піраміди. На малюнку 63 – це точка S. Вершина піраміди може бути точкою перетину більше ніж трьох площин, що містять грані піраміди.

У вершинах основи піраміди сходяться по три грані – дві сусідні бічні грані й основа.

Чи існує піраміда, в кожній вершині якої сходяться три грані?

Так. Це трикутна піраміда (мал. 64).

Пряма призма називається правильною, якщо її основа – правильний многокутник.

Піраміда називається правильною, якщо її основою є правильний многокутник і її бічні ребра рівні.

Висота піраміди

Висотою піраміди називається перпендикуляр, проведений з вершини піраміди до її основи.

У правильної піраміди висота проходить через центр її основи. На малюнку 65 відрізок SО – висота правильної чотирикутної піраміди SАВСD.

Розміщення многогранника та деякої площини

Якщо деяка площина α не містить грань многогранника, то можливі такі випадки її розміщення відносно многогранника:

1) площина α не має спільних точок з многогранником;

2) площина α має одну спільну точку з многогранником – його вершину (мал. 66);

3) площина α містить лише одне ребро многогранника (мал. 67);

4) площина α перетинає многогранник (мал. 68).

Січна площина

Площина, що перетинає многогранник, називається січною площиною.

У результаті перетину многогранника січною площиною утворюється переріз многогранника. Це плоский многокутник, сторонами якого є відрізки, по яких січна площина перетинає грані многогранника. Тому сторони перерізу лежать у гранях многогранника, а вершини – на ребрах многогранника. На малюнку 68 ви бачите чотирикутник KLMN, що є перерізом куба АВСDА1В1С1D1 січною площиною α.

Задання січної площини

Оскільки дві площини не можуть перетинатися більше ніж по одній прямій, то в грані многогранника не може бути більше одного відрізка перетину із січною площиною.

Як і будь-яку площину, січну площину можна задати або трьома точками, що не лежать на одній прямій (мал. 69), або прямою і точкою, що не належить їй (мал. 70), або двома прямими, що перетинаються (мал. 71).

Опорна задача

Задача. на ребрах АВ, ВС і ВВ1 прямокутного паралелепіпеда АВСDА1В1С1D1 дано точки K, L і M (мал. 72). Побудуйте переріз паралелепіпеда площиною, що проходить через ці точки.

Розв’язання. За умовою, точки K і M – спільні точки площини грані АВВ1А1 і січної площини. Тому ці площини перетинаються по прямій KM, а відрізок KM є відрізком перетину прямокутника АВВ1А1 із січною площиною. міркуючи аналогічно, переконуємося, що січна площина перетинає грані АВСD і ВСС1В1 паралелепіпеда по відрізках KL і ML. Проводимо відрізки KM, KL і ML. Трикутник KLM – шуканий переріз.

Це цікаво

У будь-якого опуклого многогранника кількість його вершин (в), кількість

граней (г) і кількість ребер (р) пов’язані такою залежністю:

в + г – р = 2.

Цю залежність вперше установив (1620 р.) видатний французький математик

Р. Декарт (1596 – 1650), а пізніше (у 1752 р.) заново відкрив і довів німецький математик Л. Ейлер (1707 – 1783). Відповідна теорема носить ім’я Ейлера. Іноді її називають теоремою Декарта – Ейлера про многогранники. Число в + г – р називають ейлеровою характеристикою многогранника. Ейлерові характеристики широко застосовуються в теорії многогранних поверхонь.

Походження термінів

Термін “призма” походить від грецького слова πrismα, що означає “розпилений”, («нечто отпиленное»).

Термін “паралелепіпед” походить від грецьких слів παrαlloς – паралельний та eπiπeδon – площина.

Термін “куб” (cuβox) теж античного походження.

Таку назву мала гральна кістка з вирізаними на ній вічками. Її виготовляли з баранячого суглоба, який міг падати на чотири грані, але після обточування – на шість граней.

Слово “піраміда” вважають чи не єдиним терміном, який дійшов до нас від стародавніх єгиптян. Воно означає “пам’ятник”, тобто обеліск, який поставлено славетній людині – фараону.

Первинне закріплення вивченого матеріалу

1. Наведіть приклади просторових фігур.

2. Поясніть, що таке пряма призма; піраміда.

3. Що є основами прямої призми? її гранями? ребрами? Вершинами?

4. Що є основою піраміди? її гранями? ребрами? Вершинами?

5. Чому призму називають трикутною, чотирикутною, n-кутною а піраміду?

6. Яка пряма призма називається правильною? а піраміда?

7. Поясніть, що таке січна площина для многогранника. Як її можна задати?

8. Що є перерізом многогранника?

9. Поясніть, що означає побудувати переріз многогранника.

Тренувальні вправи



Вправа № 81

81'. Назвіть вершини і ребра многогранника (мал. 73 – 75). Які його грані:

1) сходяться у вершині: а) А; б) В ; в) С;

2) мають спільне ребро: а) AB ; б) CD ; в) AD?

Вправа № 82

82'. За малюнками 76, 77 з’ясуйте:

1) яка площина перетинає даний многогранник;

2) по яких відрізках січна площина перетинає його грані;

3) який многокутник утворився в перерізі.

Тренувальні усні вправи

83°. Дано пряму трикутну призму ABCA1B1C1. назвіть площини, кожна з яких проходить через:

1) три вершини призми;

2) ребро і вершину призми;

3) два ребра призми, що мають спільну точку.

84°. Дано чотирикутну піраміду SABCD. назвіть площини, кожна з яких проходить через:

1) три вершини піраміди;

2) ребро і вершину піраміди;

3) два ребра піраміди, що перетинаються.

Тренувальні усні вправи

85°. Чи є правильною пряма призма, якщо її основа:

1) квадрат; 2) ромб; 3) трапеція?

Відповідь поясніть.

86°. Чи можна вважати правильною піраміду, в якої:

1) основа – рівнобедрений трикутник, а бічні ребра однакової довжини;

2) основа – правильний трикутник;

3) основа – правильний трикутник, а бічні ребра не однакової довжини;

4) основа – рівносторонній трикутник, а бічні ребра дорівнюють стороні

основи?

Відповідь поясніть.

Тренувальні усні вправи

87°. на малюнках 78, 79 зображено правильну піраміду, в якій проведено висоту SО. Поясніть, як розміщена основа висоти піраміди.

Задачі на побудову перерізу

Вправа № 88

Дано:

1) прямокутний паралелепіпед АВСDА1В1С1D1;

2) куб АВСDА1В1С1D1.

Проведіть січну площину через:

1) вершини А, С, D1;

2) вершини В1, D1, С;

3) ребра ВС і А1D1;

4) ребра АА1 і СС1.

Який многокутник дістали в перерізі?

Робота в парах

89°. Накресліть піраміду:

1) трикутну;

2) чотирикутну;

3) шестикутну.

Позначте середини її бічних ребер і через них проведіть січну площину.

Який многокутник дістали в перерізі?

Робота в парах

91. Виведіть формулу для обчислення кількості вершин n-кутної:

1) призми;

2) піраміди.

92. Виведіть формулу для обчислення кількості ребер n-кутної:

1) призми;

2) піраміди.

93. Виведіть формулу для обчислення кількості граней n-кутної:

1) призми;

2) піраміди.

Самостійне виконання вправ з обґрунтуванням відповіді

94. Скільки вершин п’ятикутної призми АВСDEА1В1С1D1E1 не лежить:

1) на ребрі DE;

2) на ребрі СС1;

3) у площині грані ВСD;

4) у площині грані DED1?

95. Чи залежить кількість вершин (ребер, граней) у призми від того, що її основою є правильний многокутник? а у піраміди?

96. У кубі АВСDА1В1С1D1 задано точку:

1) P на ребрі АА1;

2) Q на ребрі АD.

Площини яких граней куба перетинає пряма, що лежить у площині грані куба

і проходить через дану точку та одну з вершин куба? Скільки таких прямих можна провести?

Самостійна робота. Взаємоперевірка

99. Побудуйте переріз чотирикутної піраміди SАВСD площиною, яка проходить через:

1) середини ребер SА, АВ, АD ;

2) середину ребра АВ і медіану грані SВС ;

3) медіани граней SАВ і SВС.

Чи завжди задача має розв’язок?

Застосування на практиці вивченого матеріалу

106. З дерев’яного кубика треба виточити правильну піраміду:
  • чотирикутну; 2) трикутну.

Поясніть, як це можна зробити.





Схожі:

§ простіші многогранники та їх перерізи геометрія 10 клас Простіші многогранники iconСформувати уявлення про многогранники. Сформувати уявлення про многогранники
Грані опуклого многогранника є плоскими опуклими многокутниками. Сторони граней називаються
§ простіші многогранники та їх перерізи геометрія 10 клас Простіші многогранники iconСформувати уявлення про правильні многогранники. Сформувати уявлення про правильні многогранники
Висота правильної чотирикутної піраміди дорівнює 7 см, а сторона основи 8 см. Знайдіть Висота правильної чотирикутної піраміди дорівнює...
§ простіші многогранники та їх перерізи геометрія 10 клас Простіші многогранники iconМногогранники Епіграф
Предмет математики настільки серйозний, що не варто втрачати нагоди зробити його трохи цікавішим. Блез Паскаль
§ простіші многогранники та їх перерізи геометрія 10 клас Простіші многогранники iconУроку Многогранники. Призма. Фігури, які вивчає стереометрія, називаються т ілами
Наочно тіло уявляють як частину простору, заняту фізичним тілом І обмежену поверхнею
§ простіші многогранники та їх перерізи геометрія 10 клас Простіші многогранники iconТема: Добір змісту курсу методики навчання інформатики
Основні методи вивчення цього матеріалу індуктивний за логікою, за джерелами подання інформації пояснювально-ілюстративний, за ступенем...
§ простіші многогранники та їх перерізи геометрія 10 клас Простіші многогранники iconЕлектронна енциклопедія «Перерізи багатогранників» Лисенко Вадим Сергійович
Створення інтерактивної електронної енциклопедії «Перерізи багатогранників», яку можна використовувати на уроках математики та для...
§ простіші многогранники та їх перерізи геометрія 10 клас Простіші многогранники iconНерівності трикутників Геометрія 7 клас

§ простіші многогранники та їх перерізи геометрія 10 клас Простіші многогранники iconРівнобедрений трикутник геометрія 7 клас

§ простіші многогранники та їх перерізи геометрія 10 клас Простіші многогранники iconКуля і сфера Геометрія 11 клас

§ простіші многогранники та їх перерізи геометрія 10 клас Простіші многогранники iconБагатогранні кути Геометрія 11 клас


Додайте кнопку на своєму сайті:
dok.znaimo.com.ua


База даних захищена авторським правом ©dok.znaimo.com.ua 2013
звернутися до адміністрації
dok.znaimo.com.ua
Головна сторінка