Тема №2


НазваТема №2
Дата конвертації12.02.2013
Розмір445 b.
ТипПрезентации


Тема № 2. ТЕОРЕТИЧНІ ОСНОВИ МЕТРОЛОГІЧНОГО ЗАБЕЗПЕЧЕННЯ

  • Тема № 2. ТЕОРЕТИЧНІ ОСНОВИ МЕТРОЛОГІЧНОГО ЗАБЕЗПЕЧЕННЯ

  • Заняття № 5 Визначення числових характеристик випадкових величин

  • Навчальна мета:

  • 1.Вивчити елементи математичної статистики; оцінки, точечні і інтервальні оцінки.

  • 2.Вивчити властивості елементів математичної статистики.

  • 3.Розглянути поняття про помилки першого та другого роду.

  • Доцент кафедри , к.т.н. Лях М.А.


Вступ……………………………. 10 хв.

  • Вступ……………………………. 10 хв.

  • 2. Основна частина……………….65 хв.

    • 1.Оцінки. Властивості оцінок. Точечні і інтервальні оцінки.....................30 хв.
    • 2.Принцип практичної упевненості…………………….. 15 хв.
    • 3.Поняття про помилки першого і другого роду……….……..........................20 хв.
  • Заключна частина……………........ 5 хв.



Всі дослідження випадкових явищ, які виконані методом ймовірності, прямо або непрямо спираються на експериментальні дані. Обробка статистичних з метою одержання найбільш точного наближеного значення величини, яка підлягає дослідженню, складає предмет математичної статистики.

  • Всі дослідження випадкових явищ, які виконані методом ймовірності, прямо або непрямо спираються на експериментальні дані. Обробка статистичних з метою одержання найбільш точного наближеного значення величини, яка підлягає дослідженню, складає предмет математичної статистики.

  • Математична статистика вивчає математичні методи систематизації і обробки результатів спостережень масових випадкових явищ з метою одержання необхідних для практики даних.

  • Нехай в результаті n спостережень величини а одержаний ряд можливих значень

  • Х1,Х2,...,Хі,...,Хn (1)

  • Ряд (1) це вибірка n, відібрана навмання з генеральної сукупності; n елементів вибірки створюють емпіричний розподіл. Шляхом обробки елементів вибірки можна обчислити статистичні характеристики емпіричного розподілу.

  • В силу випадковості вибірки і обмеженості її обєму статистичні характеристики є випадковими величинами і відрізняються від числових характеристик теоретичного розподілу, якому підлягає генеральна сукупність.

  • Тому числові значення статистичних характеристик можуть бути визначені тільки приблизно.



Точечні оцінки

  • Точечні оцінки

  • Визначення: Приблизне значення оцінюваної величини (а) , яке приймається замість істинного значення цієї величини а, називається оцінкою .

  • Оцінку прийнято позначати тією ж самою літерою, що і оцінювану величину, але з хвилястою рискою над нею.

  • Так як оцінка (а )обчислюється по елементах вибірки (1) то оцінка є функцією величини Х1,Х2,...,Хі,...,Хn.

  • Тобто, сама оцінка є випадковою величиною. Для повної характеристики необхідно знати закон її розподілу. Деякі поняття про якість оцінки можна одержати, якщо досліджувати її властивості, які визначають здатність оцінки для описання самої випадкової величини. Найбільш важливими з цих властивостей є:

  • а) спроможність (состоятельность – рос.);

  • б) ефективність.



1.Оцінка параметра (а) називається спроможною, якщо при збільшенні обєму вибірки / п/ вона сходиться за ймовірністю до очікуваного параметра а, т.б.т. якщо при будь-якому >0 виконується умова

    • 1.Оцінка параметра (а) називається спроможною, якщо при збільшенні обєму вибірки / п/ вона сходиться за ймовірністю до очікуваного параметра а, т.б.т. якщо при будь-якому >0 виконується умова
    • (2)
    • Розглянемо декілька визначень пов’язаних з оцінками.
    • 2.Дисперсія спроможної оцінки при n прямує до нуля. Спроможну оцінку можна прийняти за приблизне значення параметра, але при умові, що / n/ велике.
    • 3.Оцінка називається незміщеною, якщо математичне сподівання оцінки дорівнює очікуваному параметру незалежно від числа спостережень, т.б.т., якщо при будь-якому / n/ виконується умова :
    • M[ ]= a (3)
    • 4.Якщо рівність (3) виконується при n, то оцінку називають асимптотично незміщеною.
    • 5.Якщо існує ряд незміщених оцінок, то найкращою рахують ту у якої найменша дисперсія. Незміщена оцінка, яка має найменшу дисперсію, називається ефективною:
    • D[ ]= min (4)
    • 6.Якщо умова (4) виконується при n, то оцінка називається асимптотично ефективною.








Розглянуті вище оцінки

  • Розглянуті вище оцінки

  • - приблизне значення,

  • - оцінка середньоквадратичного відхилення,

  • - середнє арифметичне, які виражаються деяким числом (точкою на числовій осі), прийнято називати точечними. Оскільки вибірка є випадковою, особливо при малих обємах / n/, така оцінка може опинитись далекою від істинного значення параметра.



Вичерпуючою характеристикою ступеню наближення оцінки(а) до параметра а, т.б.т. точністю оцінки, є її закон розподілу. Однак така характеристика точності складна в її використанні.

  • Вичерпуючою характеристикою ступеню наближення оцінки(а) до параметра а, т.б.т. точністю оцінки, є її закон розподілу. Однак така характеристика точності складна в її використанні.

  • Тому в математичній статистиці для характеристики точності оцінки використовується інтервальна оцінка, яка визначається двома числами – границями інтервалу рис.1

  • [ –a1, + a2] (9)

  • в границях якого з певною ймовірністю знаходиться істинне значення оцінюваного параметра .





Слід відмітити, що близькість довірчої ймовірності до одиниці ще не гарантує (в ймовірнісному розумінні) близькість оцінки(а) до параметра a, якщо даному значенню Pd відповідає широкий довірчий інтервал.

  • Слід відмітити, що близькість довірчої ймовірності до одиниці ще не гарантує (в ймовірнісному розумінні) близькість оцінки(а) до параметра a, якщо даному значенню Pd відповідає широкий довірчий інтервал.

  • Вузький довірчий інтервал сам по собі також не характеризує якість оцінки (а) , якщо йому не відповідає висока довірча ймовірність. Таким чином, довірчу ймовірність і довірчий інтервал необхідно завжди розглядати в сукупності.

  • За допомогою виразів (10) і (11) можна знайти довірчий інтервал при заданій довірчий ймовірності або визначити довірчу ймовірність при заданому довірчому інтервалі. В більшості прикладних задач метрології визначається довірчий інтервал по заданій довірчій ймовірності.



Згідно з міждержавним стандартом ГОСТ 8.207-76 (ГСИ. Прямые измерения с многократными повторениями. Методы обработки результатов наблюдений. Основные положения.), довірчу ймовірність Pd для визначення довірчих границь похибки результату вимірювання приймають рівною 0.95.

  • Згідно з міждержавним стандартом ГОСТ 8.207-76 (ГСИ. Прямые измерения с многократными повторениями. Методы обработки результатов наблюдений. Основные положения.), довірчу ймовірність Pd для визначення довірчих границь похибки результату вимірювання приймають рівною 0.95.

  • В таких випадках коли вимірювання не можна повторити, крім довірчих границь, які відповідають довірчій ймовірності Pd = 0.95, допускається вказувати границі для довірчої ймовірності Pd = 0.99.

  • Згідно з міждержавним стандартом ГОСТ 8.381-80 (Прим.1) довірчу ймовірність при визначенні довірчих границь похибки еталона приймають рівною 0.99.

  • Висновок: Таким чином вище розглянуті оцінки, властивості оцінок, точечні і інтервальні оцінки, довірчі ймовірності, довірчі інтервали, а також зв’язок останніх при вирішенні прикладних задач метрології.



Оцінки будь-якого параметра генеральної сукупності внаслідок обмеженого об’єму вибірки є випадковими величинами. Однак на основі цих оцінок повинні надаватись практичні рекомендації.

  • Оцінки будь-якого параметра генеральної сукупності внаслідок обмеженого об’єму вибірки є випадковими величинами. Однак на основі цих оцінок повинні надаватись практичні рекомендації.

  • Наприклад на основі групи спостережень вказують певний результат вимірювання, хоча ймовірність того, що цей результат дорівнює дійсному значенню, завжди менша одиниці. Якщо при цьому оцінюється похибка вимірювання то і вона може бути знайдена з певним ступенем точності. На практиці рахується, що похибка вимірювання значно менша результату вимірювання. В свою чергу із теорії ймовірностей слідує, що похибка може бути як завгодно великою (хоча ймовірність появи такої похибки дуже мала).

  • Протиріччя, яке виникає між теорією і практикою можна вирішити, якщо замість неможливих і достовірних подій використовувати так звані практично достовірні і неможливі події, ймовірність появи яких близькі відповідно одиниці і нулю.



Наприклад, якщо відомо, що ймовірність появи події А в даному досліді дорівнює 0.3, то це ще не дає можливості передбачити результат досліду. Але якщо ймовірність події А в даному досліді мізерно мала, або навпаки, надто близька до одиниці то це вже дає можливість передбачати результат досліду з достатньою підставою. При цьому керуються принципом практичної впевненості, який формулюється наступним чином.

  • Наприклад, якщо відомо, що ймовірність появи події А в даному досліді дорівнює 0.3, то це ще не дає можливості передбачити результат досліду. Але якщо ймовірність події А в даному досліді мізерно мала, або навпаки, надто близька до одиниці то це вже дає можливість передбачати результат досліду з достатньою підставою. При цьому керуються принципом практичної впевненості, який формулюється наступним чином.

  • Якщо ймовірність деякої події в даному досліді дуже мала (велика), то можна бути практично впевненим в тому що при одноразовому виконанні досліду подія А не здійсниться (здійсниться). Іншими словами події з дуже малими (великими) ймовірностями можна вважати практично неможливими (достовірними).

  • Природно виникає питання: наскільки малою повинна бути ймовірність події, щоб можна було рахувати неможливим її появу в одному випробуванні.

  • Найбільше значення малої ймовірності, при якій подію можна рахувати практично неможливою, називають рівнем значимості.



Питання про кількісне значення рівня значимості виходить за рамки математичної теорії, і в кожному конкретному випадку воно вирішується з практичних міркувань в залежності від того, наскільки важливе значення має прийняте рішення і наскільки велика небезпека одиночної помилки.

  • Питання про кількісне значення рівня значимості виходить за рамки математичної теорії, і в кожному конкретному випадку воно вирішується з практичних міркувань в залежності від того, наскільки важливе значення має прийняте рішення і наскільки велика небезпека одиночної помилки.

  • На практиці як правило приймають рівень значимості 0,05; 0,02; 0,01 і рідше 0,1 або 0,2. Згідно з міждержавним стандартом ГОСТ 8.207-76, при перевірці гіпотези про те, що результати спостережень належать нормальному розподілу, приймають рівні значимості від 0,1 до 0,02.

  • Висновок : Т.ч. в даному питанні розглянуті поняття принципу практичної впевненості і рівня значимості і як вони застосовуються на практиці.



Критерії згоди.

  • Критерії згоди.

  • При вивченні закону розподілу випадкової величини на основі даних статистичного матеріалу висувається гіпотеза про теоретичний розподіл. Між статистичним і теоретичним розподілами завжди має місце деяке розходження, яке обумовлене випадковими обставинами, які зв’язані або з поганим узгодженням розподілів, або з обмеженим об’ємом вибірки. Основна вимога до теоретичного розподілу полягає в тому, щоб воно відображало б лише суттєві сторони статистичного матеріалу, а не випадкові, які обумовлені недостатніми експериментальними даними.

  • Ступінь узгодженості між теоретичними і практичними розподілами може бути оцінена за допомогою критерію згоди.

  • Критерієм згоди називають критерій перевірки гіпотези про передбачуваний закон невідомого розподілу.



Вибирається деяка величина , яка характеризує ступінь розходження теоретичного і статистичного розподілів. Вона може бути вибрана різними способами. Величина повинна задовольняти деяким загальним вимогам. Необхідно, щоб закон розподілу величини визначався просто і не залежав від закону статистичного розподілу. Крім того необхідно, щоб відмінність теоретичного розподілу від статистичного суттєво відображалась на значенні величини.

  • Вибирається деяка величина , яка характеризує ступінь розходження теоретичного і статистичного розподілів. Вона може бути вибрана різними способами. Величина повинна задовольняти деяким загальним вимогам. Необхідно, щоб закон розподілу величини визначався просто і не залежав від закону статистичного розподілу. Крім того необхідно, щоб відмінність теоретичного розподілу від статистичного суттєво відображалась на значенні величини.

  • Потім задаються рівнем значимості q. Виходячи із закону розподілу випадкової величини , визначають таке її значення q, для якого виконується рівність:



Знайдене для даної вибірки значення =q порівнюють з q. Якщо <q, то рахують, що гіпотеза не суперечить дослідним даним і вона може бути прийнята, а якщо q то гіпотезу відхиляють. При вирішенні прикладних задач метрології і, зокрема, при статистичній обробці результатів спостережень застосовуються наступні критерії згоди: 2 (хі-квадрат), Пірсона, Колмогорова і 2.

  • Знайдене для даної вибірки значення =q порівнюють з q. Якщо <q, то рахують, що гіпотеза не суперечить дослідним даним і вона може бути прийнята, а якщо q то гіпотезу відхиляють. При вирішенні прикладних задач метрології і, зокрема, при статистичній обробці результатів спостережень застосовуються наступні критерії згоди: 2 (хі-квадрат), Пірсона, Колмогорова і 2.

  • Критерії 2 і Колмогорова рекомендується застосовувати у випадку, коли число спостережень n>100, a критерій 2– коли n>50.

  • Критерій 2 є найбільш допустимий при великому числі спостережень, так як він забезпечує мінімальну помилку прийняття гіпотези в порівнянні з іншими критеріями. Його слід застосовувати в тих випадках, коли значення параметрів розподілу невідомі.



В якості випадкової величини , при використовуванні критерію 2, вибирається величина 2, яка визначається рівністю:

  • В якості випадкової величини , при використовуванні критерію 2, вибирається величина 2, яка визначається рівністю:



Складовий критерій, регламентований ГОСТ8.207-76 застосовується для перевірки належності результатів спостережень нормальному розподілу при малому числі спостережень 15. При кількості результатів спостережень n15 належність до нормального розподілу не перевіряють.

  • Складовий критерій, регламентований ГОСТ8.207-76 застосовується для перевірки належності результатів спостережень нормальному розподілу при малому числі спостережень 15. При кількості результатів спостережень n15 належність до нормального розподілу не перевіряють.

  • Помилки першого та другого роду.

  • При статистичній перевірці гіпотези в силу об’єктивних причин можуть бути допущені помилки двох родів: помилка першого роду, яка полягає в тому, що буде відхилена вірна гіпотеза, і помилка другого роду, яка полягає в тому, що буде прийнята невірна гіпотеза.

  • Розглянемо суть помилок першого та другого роду на прикладі. Нехай на основі проведеного вимірювання необхідно прийняти рішення: знаходиться чи ні істинне значення параметра Х в полі допуску.



Позначимо:

  • Позначимо:

  • номінальні значення контролюємого параметра - Хном ;

  • щільність розподілу вимірюваного параметра f(x);

  • нижню і верхню границі поля допуску Хн, Хв (рис.2).



З рис.2а слідує, що згідно з показом приладу приймається гіпотеза Н1 (параметр знаходиться поза полем допуску). Насправді істинне значення параметра Х знаходиться в границях поля допуску. Слід, буде допущена помилка першого роду.

  • З рис.2а слідує, що згідно з показом приладу приймається гіпотеза Н1 (параметр знаходиться поза полем допуску). Насправді істинне значення параметра Х знаходиться в границях поля допуску. Слід, буде допущена помилка першого роду.

  • З мал.2б слідує, що згідно з показом приладу приймається гіпотеза Н2 (параметр Х знаходиться в полі допуску). Насправді істинне значення параметра Х знаходиться поза полем допуску. Слід, буде допущена помилка другого роду.

  • Кількісно помилки першого та другого роду оцінюються ймовірностями їх появи.



Ймовірність допустити помилку першого роду називають ймовірністю хибної відмови Рхв , а ймовірність допустити помилку другого роду – ймовірність невизначеної відмови Рнв. Ймовірності Рхв і Рнв можуть бути знайдені за допомогою формули повної ймовірності .

  • Ймовірність допустити помилку першого роду називають ймовірністю хибної відмови Рхв , а ймовірність допустити помилку другого роду – ймовірність невизначеної відмови Рнв. Ймовірності Рхв і Рнв можуть бути знайдені за допомогою формули повної ймовірності .



Схожі:

Тема №2 iconТема: Тема
С…омий, л…он, ма…ор, т…охкати, буль…он, бо…овий, син…ого, тр…ох, ма…онез, л…одовик, …огурт, зверхн…о, дз…обик, міль…он
Тема №2 iconТема: Тема
...
Тема №2 iconТема розділу: Приготування солодких страв та напоїв Тема уроку
Ягоди залити водою і довести до кипіння. Зменшити вогонь, додати цукор і варити 10 хвилин
Тема №2 icon5 клас. Тема 3
Тема 3 Електричний струм. Джерела електричного стуму. Електричне коло. Проста електрична схема. Будова і призначення електричних...
Тема №2 iconПрофільна інформатика 10 клас Лінія “Алгоритмізація та програмування” Тема «Лінійні алгоритми. Введення та виведення даних»
Тема уроку: Поняття змінної. Ім’я та тип змінної. Опис стандартних типів змінних. Арифметичні операції. Правила запису арифметичних...
Тема №2 iconТема №1 тема №1 “загальна будова легкового автомобіля”
Ознайомитись з призначенням автомобільного транспорту, класифікацією автомобілів, вивчити загальну будову легкового автомобіля та...
Тема №2 iconТема: “Основи вільного підприємництва.” (7 клас 4 тема)
Головне, на чому тримається підприємницька діяльність, це власність підприємця це ініціатива, творча діяльність. Основою здійснення...
Тема №2 iconТема 2: «Основи теорії графів»
Тема: Основні поняття теорії графів. Способи представлення графів. Пошук у ширину та глибину
Тема №2 iconТема 13. Міжнародна трудова міграція Тема 13. Міжнародна трудова міграція
Економічною основою його є взаємопов'язаність країн та нерівномірність їх соціально-економічного розвитку
Тема №2 iconТема Світова валютна система Тема Світова валютна система
Ес у валютній сфері, спрямована на стимулювання інтеграційних процесів, зменшення амплітуди коливання курсів національних валют та...

Додайте кнопку на своєму сайті:
dok.znaimo.com.ua


База даних захищена авторським правом ©dok.znaimo.com.ua 2013
звернутися до адміністрації
dok.znaimo.com.ua
Головна сторінка