Основи теорії ймовірності та математичної статистики проф. В. П. Марценюк План лекції Основні поняття теорії ймовірностей


НазваОснови теорії ймовірності та математичної статистики проф. В. П. Марценюк План лекції Основні поняття теорії ймовірностей
Дата конвертації16.02.2013
Розмір446 b.
ТипПрезентации


Основи теорії ймовірності та математичної статистики проф.В.П.Марценюк


План лекції

  • Основні поняття теорії ймовірностей

  • Теорема додавання та множення

  • Дискретна випадкова величина

  • Числові характеристики дискретних та неперервних випадкових величин

  • Генеральна та вибіркова сукупності.

  • Точкові оцінки параметрів розподілу.

  • Інтервальні оцінки параметрів розподілу

  • Кореляційний аналіз



Основні поняття теорії ймовірностей

  • Теорія ймовірностей вивчає масові випадкові події, які характеризуються стійкою частотою їх появи.

  • Випадковою подією в теорії ймовірності називають будь-який факт, який в результаті досліду (спостереження) може відбутися або не відбутися.

  • Різні випадкові події позначаються латинськими буквами А, В, С… .



Ймовірність події



Статистична ймовірність і кількість випробувань

  • Статистична ймовірність події може залежати від кількості n випробувань і, зрозуміло, що коли змінюється кількість випробувань, то може змінюватися і статистична ймовірність. Виникає питання – на скільки суттєві такі зміни?

  • Розглянемо кілька прикладів.

  • 1. В таблиці подано результати експерименту з підкиданням монети, який проводив Дж. Е. Керріх. Ним було проведено 10 серій з 1000 підкидань:



Статистична ймовірність і кількість випробувань

  • 2. Досліди з монетою, проведені іншими дослідниками



Статистична ймовірність і кількість випробувань

  • 3. Статистика народжуваності у Швеції у 1935 р.



Статистична ймовірність і кількість випробувань

  • 4. Порівняння кількості новонароджених у Польщі і Швеції



Статистична ймовірність і кількість випробувань

  • 5. Народжуваність у м.Києві у 2005 р.



Поняття ймовірності події

  • Приклади 1 і 2 показують, що хоча відносна частота випадання герба змінюється, вона мало відрізняються від числа 0,5.

  • Приклади 3, 4 і 5 показують, що відносна частота народження хлопчиків мало відрізняється від числа 0,518. Це число добре відоме у демографії – науці, що вивчає динаміку населення; виявляється, що статистична ймовірність народження хлопчика майже не змінюється і не залежить ні від матеріальних умов життя народу, ні від клімату, ні від раси.

  • Можна навести ще чимало дослідів, у яких при досить великій кількості випробувань статистична ймовірність Рn* (А) кожної фіксованої події А з даного простору подій S майже не відрізняється від деякого числа Р(А), яке не залежить від кількості випробувань.

  • Це число і називають ймовірністю події А.



Означення ймовірності події

  • Дослідним шляхом і розмірковуваннями за допомогою статистичних імовірностей для кожної події А можна визначити число Р(А), що характеризує можливість відбування події А у кожному випробуванні, незалежно від кількості вже проведених випробувань.

  • Число Р(А), визначене для кожної події A S, яке задовольняє умови

  • 1р. Р(А) ≥ 0 для кожної події A S;

  • 2р. Р(Ω) = 1;

  • 3р. Р(Аk) = P(Ak) для довільних попарно несумісних подій Ak

  • називають імовірністю події А.



Імовірнісна модель експерименту

  • Сукупність простору елементарних подій , простору подій S та ймовірності Р(А), А S, позначають (, S, Р) і називають імовірнісною моделлю даного стохастичного експерименту.

  • Зауваження. Основні властивості ймовірності 1р–3р такі самі, як і основні властивості площі, об’єму, довжини, маси тощо. Всі ці величини мають узагальнену назву – міра. Тому ймовірність – це міра можливості відбування випадкової події.



Способи визначення ймовірності події

  • Оскільки статистична ймовірність задовольняє властивості 1р–3р, то вона є ймовірністю. Тому перший спосіб визначення ймовірності полягає у тому, що проводять одну досить велику серію з n випробувань і покладають



Способи визначення ймовірності події

  • Третій спосіб визначення ймовірності є зручним для розв’язування багатьох задач, коли простір елементарних подій скінченний. Тоді аналізують статистичні ймовірності усіх елементарних подій еі, і = 1, 2, …, т, а кожну множину {ei}, i  {1, 2,…3}, вважають подією. Якщо статистичні ймовірності цих подій мало відрізняються одна від одної, то їх імовірності вважають рівними, а події рівноможливими.

  • Нехай Р({ei}) = p, i  {1, 2,…3}. Враховуючи, що P(Ω) = 1, маємо:1 = P(Ω) = Р({ei}) =  Р( {ei}) = m · p, звідси p = Р({ei}) =1/т.

  • Тоді для будь-якої події А = {e1, e2,…,ek} матимемо:



Способи визначення ймовірності події

  • Отже, за умови рівноможливості елементарних подій, що утворюють простір , ймовірність будь-якої події А обчислюється за формулою



Способи визначення ймовірності події



Способи визначення ймовірності події

  • Вищеописаний спосіб визначення ймовірності події називають геометричним.

  • Геометричний підхід до визначення ймовірності події не залежить від розмірності геометричного простору. Він може бути одновимірним, двовимірним, тривимірним. Важливим є те, щоб простір  усіх елементарних подій разом з певними своїми підмножинами утворював простір подій, для кожної з яких визначена ймовірність, що задовольняє властивості 1р–3р.

  • Розглядаючи ті чи інші способи (схеми) визначення ймовірності доцільно систематично підкреслювати, що ймовірність події - це наближена характеристика можливості відбування цієї події у кожному випробуванні, яка задовольняє властивості 1р–3р.



Несумісні події

  • Події являються несумісними, якщо при дослідженні дві з названих подій не можуть одночасно спостерігатись (при одному вимірювані тиск не може бути нормальним і підвищеним).



Протилежні та рівноможливі події

  • Дві несумісні події, які складають повну групу подій називаються протилежними.

  • Події називають рівноможливими, якщо ймовірності їх спостереження рівні.



Достовірна та неможлива події

  • Найбільшу ймовірність, яка рівна 1, має достовірна подія, тобто така, яка обов'язково буде спостерігатися в результаті досліду.

  • Найменша ймовірність, яка рівна 0 у неможливої події, тобто такої яка не може спостерігатися в даному досліді.



Незалежні події

  • Подія А називається незалежною від події В, якщо ймовірність події А не залежить від того відбулась подія В чи не відбулась.

  • Наприклад, група крові у другого донора не залежить від того яка група крові була у першого донора.



Залежні події

  • Подія А називається залежною від події В, якщо ймовірність спостереження події А залежить від того відбулась подія В чи така подія не відбулась.

  • В такому випадку ймовірність події А обчислена при умові, що мала місце подія В називається умовною ймовірністю події А і позначається Р(А/В).



Властивості ймовірності події



Алгоритмічний припис обчислення ймовірності події за класичною схемою

  • Опиши експеримент, про який йдеться в умові задачі та відповідний простір елементарних подій .

  • Обґрунтуй рівноможливість елементарних подій і визнач, з яких елементарних подій складається подія А.

  • Визнач кількість т елементарних подій простору Ω.

  • Визнач кількість k елементарних подій, що сприяють події А.

  • Обчисли ймовірність події А за формулою



Алгоритмічний припис обчислення ймовірності події за геометричною схемою

  • Опиши експеримент, про який йдеться в умові задачі та відповідний простір елементарних подій .

  • Обґрунтуй, які частини  доцільно вважати подіями.

  • Визнач міру () простору Ω.

  • Визнач міру (А) частини простору, що ототожнюється з подією А.

  • Обчисли ймовірність події А за формулою



Теорема додавання



Теорема множення

  • Якщо події А і В незалежні, то ймовірність складної події, яка складається із двох подій А і В рівна добутку ймовірності цих подій

  • Р(А і В)=Р(А) Р(В)

  • Якщо події А і В залежні, то ймовірність складної події рівна добутку ймовірності однієї з них на умовну ймовірність іншої.

  • Р(А і В)=Р(А)·Р(В\А)=Р(В)·Р(А\В)



Умовна ймовірність. Імовірність добутку подій

  • Задача. Під час проведення експерименту в науковій лабораторії 5 білих щурів лінії Вістар випадково потрапили до клітки з 15-ма непородистими білими щурами. Студенти для експерименту беруть щурів навмання. Першим студент навмання взяв одного із білих щурів для експерименту. Знайти ймовірність того, що після цього навмання взятий другим студентом білий щур виявиться білим щуром лінії Вістар.

  • Для розв’язання цієї задачі будемо міркувати так. Експеримент полягає у вийманні білих щурів із клітки. Вважаємо, що ймовірнісну модель побудовано так, що серед подій є події: Н1 — «1-й студент взяв щура лінії Вістар», Н2 — «1-й студент взяв непородистого щура», А — «2-й студент взяв щура лінії Вістар». Очевидно, що Н1+ Н2 = Ω.



Умовна ймовірність. Імовірність добутку подій

  • Подія А відбудеться тоді і тільки тоді, коли відбудеться або подія «1-й студент взяв щура лінії Вістар і 2-й студент взяв щура лінії Вістар», або подія «1-й студент взяв непородистого щура і 2-й студент взяв щура лінії Вістар». Отже А = Н1А + Н2 А

  • Тоді Р(А) = Р(Н1А + Н2 А). Оскільки події Н1А і Н2А несумісні, то Р(А) = Р(Н1А) + Р(Н2 А).

  • Отже, задача буде розв’язана, якщо ми знатимемо, як знайти ймовірність добутку двох подій.



Умовна ймовірність. Імовірність добутку подій

  • Розглянемо дві довільні події А та В з деякого ймовірнісного простору і вважатимемо, що ймовірність є статистичною. Нехай при проведенні n випробувань подія В відбулася kB раз. При цьому добуток подій АВ відбувся kAB раз. Згідно з означенням статистичної ймовірності маємо:



Умовна ймовірність. Імовірність добутку подій

  • Означення. Якщо P(B) ≠ 0, то умовною ймовірністю події А за умови, що подія В відбулася, називають відношення ймовірності добутку подій А і В до ймовірності події В:



Умовна ймовірність. Імовірність добутку подій

  • Аналогічно означається умовна ймовірність події В, за умови, що подія А відбулася (P(A) ≠ 0):



Умовна ймовірність. Імовірність добутку подій

  • З означення умовних імовірностей випливає правило множення ймовірностей.



Умовна ймовірність. Імовірність добутку подій

  • Закінчимо тепер розв’язання нашої задачі.

  • За правилом множення ймовірностей:

  • Р(Н1А) = Р(Н1)РН1(А), Р(Н2 А) = Р(Н2)РН2(А).

  • З умови задачі випливає:



Незалежні події. Ймовірність добутку незалежних подій

  • Події А та В називаються незалежними, якщо P(AB)=P(A)P(B).

  • В іншому випадку події А та В називають залежними.

  • Отже,

  • Щоб знайти ймовірність добутку двох незалежних подій потрібно обчислити добуток імовірностей цих подій.

  • Події А та В незалежні тоді і тільки тоді, коли PA(B) = P(B) і PB(A) = P(A)



Формула повної ймовірності

  • Розв’язуючи задачу, ми застосували формулу



Формула Байєса

  • Внесемо у задачу про білих щурів такі зміни: відомо, що 2-й студент взяв з клітки щура лінії Вістар. Яка ймовірність того, що перед цим 1-й студент взяв непородистого щура?

  • За такої умови відомо, що подія А «2-й студент взяв щура лінії Вістар» відбулася. Тепер необхідно визначити умовну ймовірність гіпотези Н2 за умови, що подія А відбулася.

  • Використовуючи означення умовної ймовірності, правило обчислення ймовірності добутку, матимемо



Формула Байєса

  • Попередня рівність є частинним випадком так званої формули Байєса:



Повторні незалежні випробування з двома наслідками

  • Задача. Благодійну лотерею організовано так, що ймовірність виграшу за кожним придбаним білетом лотереї дорівнює 0,2. Яка ймовірність того, що з чотирьох придбаних білетів два виявляться виграшними?

  • Розв’язання. Експеримент полягає в тому, що послідовно перевіряються 4 білети (проводиться 4 повторних випробування, результат кожного з яких не залежить від результатів інших). Кожне випробування має два наслідки: білет виграв або білет не виграв. Ймовірність виграшу кожного разу одна й та сама. Вважаємо ймовірнісну модель побудованою так, що серед подій є незалежні у сукупності події Аі — «і-й білет виграшний», і = 1, 2, 3, 4. Тоді серед подій буде і подія В — «серед чотирьох білетів два виграшних», причому



Повторні незалежні випробування з двома наслідками

  • Враховуючи попарну несумісність доданків і незалежність співмножників, маємо:



Повторні незалежні випробування з двома наслідками

  • Формулюємо задачу в загальному вигляді.

  • Розглянемо подію А з деякого, вже побудованого ймовірнісного простору (Ω, S, Р).

  • Як знайти ймовірність того, що подія А відбудеться рівно т разів при проведенні n незалежних випробувань, в кожному з яких подія А може відбутися з ймовірністю p  [0;1] або не відбутися з ймовірністю 1 - р?

  • За аналогією, подію В -«подія А відбулася т разів при проведенні n випробувань»- можна записати як суму добутків незалежних подій, кожен з яких складається з т подій Аі та з n- т подій Āj, де індекси i та j відповідають номеру випробування:



Повторні незалежні випробування з двома наслідками

  • Усіх доданків-добутків стільки, скільки можна з п елементів (випробувань) вибрати т елементів (випробувань, у яких відбулася подія А). А саме їх



Повторні незалежні випробування з двома наслідками

  • Ймовірність того, що подія А відбудеться рівно т разів при проведенні n незалежних випробувань позначається Рn(m) або pn,m і обчислюється за формулою



Наслідки формули Бернуллі

  • Наслідок 1. Імовірність того, що подія А при проведенні n незалежних випробувань відбудеться не менше m1 разів і не більше m2 разів позначається Pn(m1 ≤ m ≤ m2) i обчислюється за формулою



Наслідки формули Бернуллі

  • Наслідок 2. Імовірність того, що подія А відбудеться хоча б один раз при проведенні n незалежних випробувань, позначається Pn(m ≥ 1) і обчислюється за формулою



Випадкова величина

  • Випадкова величина - це величина, яка приймає в результаті випробувань одне з багатьох можливих значень, причому появу того чи іншого значення передбачити неможливо, тобто воно являється випадковою подією. Розрізняють дискретні і неперервні величини



Випадкова величина

  • Розглянемо приклад. Експеримент полягає у двох підкиданнях однієї монети і фіксації пари зображень, що випали. Імовірнісну модель побудованою так, що простором елементарних подій є Ω = {ГГ, ГЦ, ЦГ, ЦЦ}, а множини {ГГ}, {ГЦ}, {ЦГ}, {ЦЦ} є подіями. Кожній елементарній події е  Ω можемо поставити у відповідність число Х(е) — кількість цифр, що випали. Тоді елементарній події ГГ відповідає число 0, елементарним подіям ГЦ і ЦГ 1, а ЦЦ — 2. Іншими словами, на множині Ω можна задати функцію Х(е), е  Ω, яка кожній елементарній події е ставить у відповідність певне число.



Випадкова величина

  • Постає запитання: чи можна в рамках імовірнісної моделі (Ω, S, P) знайти ймовірність того, що функція , набуде довільного фіксованого значення а? Для відповіді на це запитання потрібно розглянути множину розв’язків рівняння Х(е) = a, де а — відоме значення, а елемент е — невідомий. Зрозуміло, що коли а = 0, то цією множиною є множина {ГГ}, коли а = 1, то — {ГЦ, ЦГ}, коли а = 2, то — {ЦЦ}, коли а відмінне від 0, 1 і 2, то шукана множина є порожньою. Отже, для знаходження потрібних ймовірностей необхідно, щоб множини розв’язків рівняння були подіями. Інакше потрібні ймовірності знайти неможливо.



Випадкова величина

  • Оскільки імовірнісну модель (Ω, S, P) побудовано так, що ймовірності подій {ГГ}, {ГЦ, ЦГ}, {ЦЦ} відомі, тому можна знайти ймовірність того, що функція Х(е), е  Ω, набуде довільного фіксованого значення:



Дискретна випадкова величина

  • Це така випадкова величина, яка може приймати кінцеву кількість значень на заданому інтервалі, тобто таку множину, елементи якої Х можуть бути занумеровані в якомусь порядку і виписані в послідовності Х1, Х2, Х3, ….,Хn.

  • Випадкова величина вважається заданою, якщо заданий закон її розподілу.



Випадкова величина

  • Нехай задано імовірнісний простір (Ω, S, P).

  • Означення. Числову функцію Х = Х(е), визначену на просторі елементарних подій Ω, називають дискретною випадковою величиною, якщо:

  • 1) множина значень цієї функції Х(Ω) = {x1,x2,…} є дискретною;

  • 2) для кожного значення а множина розв’язків рівняння Х(е) = a є подією.

  • Дискретну випадкову величину називають простою, якщо множина її значень скінченна



Розподіл ймовірностей випадкової величини

  • Дискретна випадкова величина Х = Х(е), е  Ω, вважається визначеною, коли відомі всі її значення х1, х2, … і відповідні їм імовірності р1, р2, …. При цьому обов’язково всі числа рі ≥ 0 і Σ рі = 1.

  • Відповідність між можливими значеннями дискретної випадкової величини та їх ймовірностями називають дискретним розподілом імовірностей на множині значень даної випадкової величини.

  • Для простої випадкової величини з множиною значень Х(Ω) = {x1,x2,…, xn} , де x1 < x2 <…< xn відповідний розподіл ймовірностей можна задати таблицею, яку називають рядом розподілу імовірностей на множині значень випадкової величини.





Розглянемо приклад. Нехай імовірності вибивання певного числа очок при стрільбі двома спортсменами мають такі ряди розподілу:

  • Розглянемо приклад. Нехай імовірності вибивання певного числа очок при стрільбі двома спортсменами мають такі ряди розподілу:



Математичне сподівання і дисперсія

  • Математичним сподіванням (середнім значенням, центром розсіювання) випадкової величини Х називають суму добутків її значень на відповідні ймовірності:

  • МХ = ΣхіР(хі)

  • Дисперсією (розсіюванням) дискретного розподілу ймовірностей називають число:

  • = Σ(хі - МХ)2Р(хі)



Математичне сподівання і дисперсія

  • Поняття математичного сподівання було введено в науку у ХVІІ ст. під назвою “справедлива ціна шансу”. Це поняття широко застосовується в економіці для визначення середніх витрат, середнього прибутку, середніх цін тощо.

  • Математичне сподівання (середнє значення, центр розсіювання) це число, яке характеризує значення, навколо якого зосереджуються спостережені значення, причому, воно може бути нерівним жодному з спостережених значень.

  • Дисперсія (розсіювання) характеризує скупченість (розсіювання) спостережуваних значень навколо середнього значення (центра розсіювання). Чим менша дисперсія, тим точнішим, вірогіднішим, надійнішим є середнє значення при достатньо великій кількості спостережень.



Повернемося до прикладу:

  • Повернемося до прикладу:



Числові характеристики дискретних випадкових величин





Властивості математичного сподівання

  • Математичне сподівання сталої с дорівнює самій сталій:

  • Мс = с

  • Математичне сподівання добутку випадкової величини на довільну сталу дорівнює добутку сталої на математичне сподівання цієї випадкової величини:

  • М(сХ) = сМХ

  • Математичне сподівання суми двох випадкових величин дорівнює сумі математичних сподівань цих величин:

  • М(Х + У) = МХ + МУ



Дисперсія дискретної випадкової величини





Середнє квадратичне відхилення випадкової величини



Неперервна випадкова величина

  • Це така випадкова величина, яка може приймати будь-яке із значень, які належить до даного інтервалу.

  • Неперервна випадкова величина приймає нескінчену кількість значень, ймовірність того, що вона прийме якесь конкретне значення рівна нулю.



Числові характеристики неперервних випадкових величин. Функція щільності



Якщо щільність ймовірності величини Х рівна f(x),то ймовірність попадання Х в інтервал від а до в обчислюється за формулою:

  • Якщо щільність ймовірності величини Х рівна f(x),то ймовірність попадання Х в інтервал від а до в обчислюється за формулою:



Умова нормування для неперервної випадкової величини



Функція розподілу неперервної випадкової величини F(x)



Математичне сподівання неперервної випадкової величини

  • Математичним сподіванням неперервної випадкової величини Х усі можливі значення якої належать скінченному відрізкові [a;b] називається визначений інтеграл



Дисперсія неперервної випадкової величини

  • Дисперсією неперервної випадкової величини називається математичне сподівання квадрату її відхилення від математичного сподівання:



Елементи математичної статистики

  • Математична статистика - це розділ прикладної математики, який безпосередньо примикає до теорії ймовірності.

  • На відміну від теорії ймовірності математична статистика розглядає не дії над законами розподілу і числовими характеристиками випадкових величин, а наближені методи встановлення цих законів по результатах експерименту.



Генеральна та вибіркова сукупності

  • Спостереження над біологічними об’єктами ведеться за певною ознакою, яка змінюється при переході від одного члена сукупності до іншого. Зміну цієї ознаки називають варіацією, а значення ознаки у даного члена статистичної сукупності - його варіантою X. Так у новонароджених дітей вага являється варіантою, яка варіює від дитини до дитини.



Статистична сукупність, яка включає в себе всі можливі члени, які в принципі можуть бути віднесені до даної сукупності, називається генеральною.

  • Статистична сукупність, яка включає в себе всі можливі члени, які в принципі можуть бути віднесені до даної сукупності, називається генеральною.

  • Генеральну сукупність складають всі жителі міста, хворі з даним діагнозом.

  • Внаслідок її багаточисленості генеральна сукупність для дослідження важкодоступна.

  • Тому досліджують частину об’єктів із генеральної сукупності, яку називають вибірковою сукупністю, або вибіркою.



Для того щоб вибірка достатньо точно характеризувала властивості генеральної сукупності, вибірка повинна бути репрезентативною.

  • Для того щоб вибірка достатньо точно характеризувала властивості генеральної сукупності, вибірка повинна бути репрезентативною.

  • Вибірка буде репрезентативною, якщо всі об’єкти генеральної сукупності будуть мати однакову ймовірність потрапити у вибірку.



Точкові оцінки параметрів розподілу

  • Одним з основних завдань математичної статистики є визначення характеристик генеральної сукупності по дослідженням вибіркової сукупності і встановлення того, наскільки параметри вибірки відображають основні характеристики генеральної сукупності.



Точкове оцінювання.

  • Точковою оцінкою називають таку оцінку, яка визначається одним числом. Точкові оцінки повинні мати властивості, які задовольняють певні вимоги:

  • 1. Незміщеність - математичне сподівання оцінки дорівнює оцінюваному параметру генеральної сукупності при будь - якому об’ємі вибірки.



2. Ефективність - серед можливих незміщених оцінок вибирають ту, яка має найменшу дисперсію.

  • 2. Ефективність - серед можливих незміщених оцінок вибирають ту, яка має найменшу дисперсію.

  • 3. Обґрунтованість - з ймовірністю, близькою до одиниці, різниця між істинною величиною параметра та значенням його оцінки є як завгодно малою при достатньо великому об’ємі вибірки.





Дисперсія генеральної сукупності



Вибіркова дисперсія



Вибіркова дисперсія



Виправлена вибіркова дисперсія



Генеральне середнє квадратичне відхилення





Інтервальні оцінки

  • Інтервальною називають таку оцінку яка визначається двома числами - кінцями інтервалу, який покриває оцінюваний параметр.

  • Інтервальні оцінки дозволяють встановити точність і надійність оцінок.



Довірчим називають інтервал, який із заданою надійністю α покриває заданий параметр.

  • Величина α повинна бути достатньо близькою до 1. В біологічних дослідженнях довірча ймовірність повинна бути рівною 0,95 (95%).

  • При розробці біологічних стандартів потрібно користуватись 99%-ю довірчою ймовірністю.







Кореляційний аналіз

  • Кореляційний аналіз – це статистичне дослідження (стохастичної) залежності між випадковими величинами (англ. correlation – взаємозв’язок). У найпростішому випадку досліджують дві вибірки (набори даних), у загальному – багатовимірні комплекси (групи) біомедичних параметрів або об’єктів.



Кореляційний аналіз

  • Головні завдання кореляційного аналізу:

    • 1) оцінка за вибірковими даними коефіцієнтів кореляції;
    • 2) перевірка значущості вибіркових коефіцієнтів кореляції або кореляційного відношення;
    • 3) оцінка близькості виявленого зв’язку до лінійного;
    • 4) побудова довірчого інтервалу для коефіцієнтів кореляції.


Кореляційний аналіз

  • Парна кореляція

    • Найпростіша для дослідження парна кореляція, решту побудована на її основі. Парний коефіцієнт кореляції стосується лінійної моделі зв’язку між даними, у складніших випадках досліджують нелінійну кореляцію, а мірою нелінійного зв’язку є кореляційне відношення. Якщо існує лінійний зв’язок, то він буде виявлений і як нелінійна кореляція. Навпаки, існування зв’язку взагалі не є підставою стверджувати про наявність лінійного зв’язку. Отже, нелінійна кореляція – сильніша властивість, а лінійна кореляція є частковим випадком нелінійної кореляції (або кореляції в загальному випадку).


Кореляційний аналіз



Кореляційний аналіз



Кореляційний аналіз



Кореляційний аналіз



Кореляційний аналіз



Кореляційний аналіз



Кореляційний аналіз



Кореляційний аналіз



Кореляційний аналіз



Кореляційний аналіз



  • Дякую за увагу !



Схожі:

Основи теорії ймовірності та математичної статистики проф. В. П. Марценюк План лекції Основні поняття теорії ймовірностей iconОснови теорії ймовірності та математичної статистики План лекції Основні поняття теорії ймовірностей
Теорія ймовірностей вивчає масові випадкові події, які характеризуються стійкою частотою їх появи
Основи теорії ймовірності та математичної статистики проф. В. П. Марценюк План лекції Основні поняття теорії ймовірностей iconКороткі відомості з теорії ймовірностей та математичної статистики План лекції Дискретні випадкові величини(двв)

Основи теорії ймовірності та математичної статистики проф. В. П. Марценюк План лекції Основні поняття теорії ймовірностей iconЕлементарні задачі, які були віднесені до стохастики, тобто до комбінаторики, теорії ймовірностей та математичної статистики, ставилися й розв'язувалися ще в часи Стародавнього Єгипту, Греції та Риму

Основи теорії ймовірності та математичної статистики проф. В. П. Марценюк План лекції Основні поняття теорії ймовірностей iconОснови теорії держави І права план основні теорії виникнення держави І права
Держава як класове явище І як суспільний договір (порівняння концепції Енгельса І гоббса)
Основи теорії ймовірності та математичної статистики проф. В. П. Марценюк План лекції Основні поняття теорії ймовірностей iconТема 2: «Основи теорії графів»
Тема: Основні поняття теорії графів. Способи представлення графів. Пошук у ширину та глибину
Основи теорії ймовірності та математичної статистики проф. В. П. Марценюк План лекції Основні поняття теорії ймовірностей iconПервісним поняттям теорії ймовірності є подія Первісним поняттям теорії ймовірності є подія
Наприклад: Під час витягування навмання однієї карти ви взяли короля. Подія є випадковою
Основи теорії ймовірності та математичної статистики проф. В. П. Марценюк План лекції Основні поняття теорії ймовірностей iconТема № математичні основи теорії алгоритмів. 3 Елементи математичної логіки, теорії предикатів
Уперше правила міркувань систематизував грецький філософ Аристотель ( 384-322 р до н е.) виклав закони логічного виведення, запропонував...
Основи теорії ймовірності та математичної статистики проф. В. П. Марценюк План лекції Основні поняття теорії ймовірностей iconЛекція № Тема лекції: Історія медсестринства та перспективи розвитку. Поняття про медсестринські теорії та процес Проф. Пасєчко Н. В

Основи теорії ймовірності та математичної статистики проф. В. П. Марценюк План лекції Основні поняття теорії ймовірностей iconЛекція основи теорії держави І права основні теорії походження держави І права. Поняття й ознаки держави. Внутрішні І зовнішні функції держави
Класифікація держав за їхньою формою (форми правління, форми державного устрою та форми державно-правового режиму)
Основи теорії ймовірності та математичної статистики проф. В. П. Марценюк План лекції Основні поняття теорії ймовірностей iconПознайомимось з… Михайлом Кравчуком
Внесок: в теорії ймовірностей він увів многочлени біноміального розподілу, що відомі, як многочлени Кравчука. Співавтор першого трьохтомного...

Додайте кнопку на своєму сайті:
dok.znaimo.com.ua


База даних захищена авторським правом ©dok.znaimo.com.ua 2013
звернутися до адміністрації
dok.znaimo.com.ua
Головна сторінка