Теорія графів – спеціальний розділ математичного програмування, який вивчає кількісні і якісні характеристики графів


НазваТеорія графів – спеціальний розділ математичного програмування, який вивчає кількісні і якісні характеристики графів
Дата конвертації27.06.2013
Розмір445 b.
ТипПрезентации



Теорія графів – спеціальний розділ математичного програмування, який вивчає кількісні і якісні характеристики графів.

  • Теорія графів – спеціальний розділ математичного програмування, який вивчає кількісні і якісні характеристики графів.

  • Граф визначається двома характеристиками L(X,T):

  • множинами певних елементів Х, які називаються вершинами;

  • законами, які дозволяють встановити час чи відстань (Т) між кожним елементом множини Х.



Відповідність між будь-якою парою вершин називається ребром.

  • Відповідність між будь-якою парою вершин називається ребром.

  • Вершини графічно позначаються крапками або кружечками.

  • Ребра позначаються ненаправленими лініями.

  • Дві вершини графа називаються суміжними якщо вони мають спільне ребро.



Одна і та ж пара вершин може з’єднуватись більше ніж одним ребром.

  • Одна і та ж пара вершин може з’єднуватись більше ніж одним ребром.

  • Певна вершина може бути з’єднана ребром сама з собою, тоді таке ребро називається петлею.

  • Певна послідовність попарно суміжних ребер графу утворює ланцюг.





Деревом називається скінчений зв’язний граф, який складається принаймні з двох вершин і немає циклів.

  • Деревом називається скінчений зв’язний граф, який складається принаймні з двох вершин і немає циклів.

  • Дерево цілей – один з найбільш популярних методів в економіці для вирішення складних задач.

  • Для будь-якої пари вершин дерева існує один і лише один ланцюг що їх зв’язує.

  • Для дерева що має n вершин кількість ребер завжди рівна (n-1).



Часто відносини між вершинам є упорядкованими (різниця між початковою і кінцевою вершинами є суттєвою).

  • Часто відносини між вершинам є упорядкованими (різниця між початковою і кінцевою вершинами є суттєвою).

  • В цьому випадку ребра називаються дугами а граф називається орієнтованим (направленим).

  • Графічно дуги позначаються лініями зі стрілками.



Сітьовий графік – орієнтований граф без петель.

  • Сітьовий графік – орієнтований граф без петель.

  • Можуть бути змішані графи, які містять і ребра і дуги і петлі (сітка автомобільних шляхів).





Граф може бути представлений у вигляді матриці.

  • Граф може бути представлений у вигляді матриці.

  • Існує три типи матриць:

  • матриця суміжності;

  • матриця Кірхгофа;

  • матриця інциденцій.



квадратна матриця порядку n.

  • квадратна матриця порядку n.

  • Елементи aij якої рівні кількості дуг, що з’єднують вершини xi з вершинами xj.





Закономірності:

  • Закономірності:

  • Якщо матриця складається лише з 0 та 1 – то граф не має дуг.

  • Якщо на головній діагоналі всі елементи рівні 0, то граф не має петель.

  • Теорема 1. Графи ізоморфні тоді і тільки тоді, коли їх матриці суміжностей можна одержати одну з іншої однаковими перестановками рядків і стовпчиків.

  • Теорема 2. Якщо А – матриця суміжностей графа L(X,T), який має порядок n, то елемент aij матриці Ak є числом маршрутів довжини k, які з’єднують вершини xi та xj в графі L(X,T).



Матриця називається матрицею Кірхгофа, якщо

  • Матриця називається матрицею Кірхгофа, якщо



Матриця називається матрицею інцидентності, якщо

  • Матриця називається матрицею інцидентності, якщо



Сітка – кінцевий зв’язний орієнтований граф без петель, в якому виконуються такі умови:

  • Сітка – кінцевий зв’язний орієнтований граф без петель, в якому виконуються такі умови:

  • граф має лише дві специфічні вершини: одна з них не має дуг, що входять до неї (ця вершина називається витоком (A)) а інша не має дуг, що виходять з неї (така вершина називається стоком (E));

  • всім дугам відповідають певні кількісні характеристики (час, вартість, відстань, пропускна спроможність тощо





У 1738 році відомий математик Леонард Ейлер (1707-1782), у той час професор Петербурзького університету, розв’язав задачу про кенігсберзькі мости.

  • У 1738 році відомий математик Леонард Ейлер (1707-1782), у той час професор Петербурзького університету, розв’язав задачу про кенігсберзькі мости.

  • Конкурс на розв’язання цієї задачі був оголошений мером міста Кенігсберга.

  • Суть задачі полягала в тому, що у місті Кенігсберзі на річці Преголь розташовані два острови, які з’єднані сімома мостами.

  • Острови позначено літерами AD, береги – літерами BC.





На островах був розташований міський парк.

  • На островах був розташований міський парк.

  • Невідомо чому, але громадян почало хвилювати питання: чи можна пройти по всіх мостах так, щоб вийшовши з будь-якої точки суші (берега чи острова), пройти по кожному мосту рівно один раз і повернутися у вихідну точку.

  • На підставі введеної Ейлером нової формалізації було доведено, що такого маршруту не існує.



Для знаходження розв’язку Ейлер позначив кожну частину суші точкою (вершиною), а кожен міст – лінією (ребром), що з’єднує відповідні точки.

  • Для знаходження розв’язку Ейлер позначив кожну частину суші точкою (вершиною), а кожен міст – лінією (ребром), що з’єднує відповідні точки.

  • Отриману структуру, яку ми тепер називаємо графом зображено на рисунку.





На ньому точки позначені тими ж буквами що й на попередньому рисунку, а ребра відповідають мостам.

  • На ньому точки позначені тими ж буквами що й на попередньому рисунку, а ребра відповідають мостам.

  • Твердження про відсутність позитивного розв’язку в цій задачі еквівалентне твердженню про неможливість обійти спеціальним чином граф.



Для доведення Ейлер ввів поняття степеня кожної вершини як кількості ребер, інцидентних їй, і довів у загальному вигляді теорему про те, що маршрут, згодом названий його іменем, існує тільки для графів спеціального вигляду.

  • Для доведення Ейлер ввів поняття степеня кожної вершини як кількості ребер, інцидентних їй, і довів у загальному вигляді теорему про те, що маршрут, згодом названий його іменем, існує тільки для графів спеціального вигляду.

  • А саме для зв’язних графів, у яких степені всіх вершин парні.



Теорема. Граф зв’язний тоді і тільки тоді, коли його не можна представити у вигляді диз’юнктивного об'єднання двох графів.

  • Теорема. Граф зв’язний тоді і тільки тоді, коли його не можна представити у вигляді диз’юнктивного об'єднання двох графів.

  • Постановка задачі. Необхідно знайти ребра, що з’єднують всі вершини сітки і мають мінімальну сумарну довжину (minimal spanning tree).

  • Принцип розв’язку: ланцюги не повинні мати циклів а ребра не перетинатись, при цьому кожна пара вершин з’єднується ланцюгом.



Сітка мінімальної довжини буде рівна

  • Сітка мінімальної довжини буде рівна

  • 1-2;1-3=7+5=12

  • Дерево-кістяк – сітка мінімальної довжини без циклів.



Існує простий алгоритм побудови дерева-кістяка. :

  • Існує простий алгоритм побудови дерева-кістяка. :

  • Будь-яка вершина зв’язується з найближчою вершиною сітки. Дві з'єднані вершини утворюють зв’язну множину, всі інші вершини – незв’язну множину.

  • У незв’язній множині обирається вершина, яка розташована на найближчій відстані від будь-яких вершин зв’язної множини. Після чого відповідним чином корегується зв’язна і незв’язна множини.

  • Процес продовжується доти, доки у зв’язну множину не потраплять всі вершини сітки. У випадку рівновіддалених вершин, обирається будь-яка з них, тобто мінімальне дерево-кістяк може бути неоднозначним.





Постановка задачі

  • Постановка задачі

  • Необхідно знайти зв’язані між собою шляхи транспортної сітки, які в сукупності мають мінімальну довжину від вихідного пункту (витоку) до пункту призначення (стоку).

  • Алгоритм розв’язку для сітки без циклів.

  • Нехай у нас задана сітка без циклів, яка складається з n вершин.

  • dij – відстань між суміжними вершинами i та j;

  • Uj – найкоротший шлях між початковою вершиною та вершиною j;



  • Вибирається Мінімум з суми найкоротшого шляху до попередньої вершини та відстані між даною та попередньою вершиною.

  • Розрахунок завершується, коли одержано значення Un, де n – номер вершини пункту призначення.

  • Алгоритм реалізуються поетапно.





У наведеному алгоритмі можна передбачити якість доріг шляхом введення вагових коефіцієнтів.

  • У наведеному алгоритмі можна передбачити якість доріг шляхом введення вагових коефіцієнтів.

  • Даний алгоритм лежить в основі роботи всіх GPS приймачів та програми Microsoft Auto Route, якою користується більшість автотранспортних підприємств Європи та США.



Планування та керування на мережах – це комплекс графічних і розрахункових методів, організаційних заходів, що забезпечують моделювання, аналіз і динамічну перебудову плану виконання складних проектів і розробок.

  • Планування та керування на мережах – це комплекс графічних і розрахункових методів, організаційних заходів, що забезпечують моделювання, аналіз і динамічну перебудову плану виконання складних проектів і розробок.

  • Характерною рисою таких проектів є те, що вони складаються з окремих, елементарних робіт, тому побудова мережної моделі (структурне планування) починається з розбиття проекту на чітко визначені роботи, для яких визначається їх тривалість.



Мережа складається з таких трьох основних елементів робота, подія, шлях:

  • Мережа складається з таких трьох основних елементів робота, подія, шлях:

  • Робота – будь-який процес, що призводить до досягнення певних результатів, вимагає витрат певних видів ресурсів і триває у часі.

  • При цьому робота може бут трьох видів:

    • реальна (дія), яка вимагає часу і ресурсів (мурування стіни, заливання фундаменту бетоном, складання заявки на матеріали, вивчення кон’юнктури ринку);
    • очікування, яка вимагає лише витрат часу (очікування постачання ресурсів, деталі в черзі до верстата, твердіння бетону);
    • логічна залежність (процес, фіктивна робота) не потребує ні часу ні ресурсу (передавання документів, старіння виливків, витримування вина).


Подія – момент часу, в який завершуються одні роботи і починаються інші.

  • Подія – момент часу, в який завершуються одні роботи і починаються інші.

  • Подія є результатом виконаних робіт і, на відміну від робіт не має тривалості в часі.

  • Шлях – послідовність подій і робіт від початкової події до кінцевої.

  • Очевидно, що граф має декілька шляхів.

  • Причому у мережі може бути лише одна початкова та одна завершаюча подія.

  • Шлях максимальної довжини називається критичним.

  • Тривалість критичного шляху визначає тривалість проекту в цілому.

  • Календарне планування детермінованої мережі (CPM – critical path method) здійснюється шляхом розрахунку параметрів робіт, подій та шляхів мережі у часі.





Ранній термін завершення події – найраніший термін, в який трапиться подія.

  • Ранній термін завершення події – найраніший термін, в який трапиться подія.

  • Подія вважається такою, що завершилася, якщо виконані всі роботи, що входять в цю подію.

  • Якщо подія завершилася, виконавці можуть почати (але не зобов’язані) виконання всіх робіт, що виходять з неї.

  • Виходячи з цих визначень, ранній термін завершення події обчислюється рекурентно на основі значень тривалостей робіт, що входять у подію та ранніх термінів завершення подій, з яких виходять ці роботи.





Пізній термін завершення події – це найпізніший можливий термін, коли може трапиться подія за умови не збільшення загального часу виконання проекту.

  • Пізній термін завершення події – це найпізніший можливий термін, коли може трапиться подія за умови не збільшення загального часу виконання проекту.

  • Пізній термін завершення події – визначається також рекурентним шляхом на основі значень тривалостей робіт, що виходять з даної події та пізніх термінів завершення подій, в які вони входять.

  • Оскільки відомим є загальний термін робіт над проектом, то розрахунок реалізується оберненою ходою – починаючи з останньої події проекту (його завершення) в напрямку до початкової.





Резерв часу події визначає значення, на яке може бути відсунутий в часі момент, коли подія трапиться, порівняно з раннім терміном її завершення.

  • Резерв часу події визначає значення, на яке може бути відсунутий в часі момент, коли подія трапиться, порівняно з раннім терміном її завершення.

  • Якщо резерв часу події рівний нулеві, то вона обов’язково повинна завершитись у вказаний ранній час, тобто є критичною.



Результати розрахунку параметрів подій мережі типу СРМ зручно відображати так

  • Результати розрахунку параметрів подій мережі типу СРМ зручно відображати так



Критичний шлях у мережі проекту (найдовший шлях) проходить через ті події, резерв часу яких рівний нулеві.

  • Критичний шлях у мережі проекту (найдовший шлях) проходить через ті події, резерв часу яких рівний нулеві.

  • Ніяка робота з числа тих, що знаходяться на критичному шляху, не може бути продовжена, тому що це приведе до відповідного зростання тривалості виконання проекту загалом.



З точки зору керівництва проектом, при управлінні основна увага має бути приділена роботам, що знаходяться на критичному шляху.

  • З точки зору керівництва проектом, при управлінні основна увага має бути приділена роботам, що знаходяться на критичному шляху.

  • Скорочення критичного шляху приводить до скорочення термінів виконання проекту, але при цьому може з’явитися інший критичний шлях, і надалі скорочення терміну проекту буде можливим за умови зменшення тривалості кожного з критичних шляхів.



При розрахунку параметрів робіт необхідно відзначити, що:

  • При розрахунку параметрів робіт необхідно відзначити, що:

  • Ранній термін початку роботи дорівнює ранньому терміну звершення тієї події, з якої виходить робота:

  • Ранній термін завершення роботи визначається як:



Пізній термін завершення роботи рівний пізньому терміну звершення події, до якої входить робота:

  • Пізній термін завершення роботи рівний пізньому терміну звершення події, до якої входить робота:

  • Пізній термін початку роботи визначається через пізній термін завершення роботи:



Повний:

  • Повний:

  • Повний резерв часу визначає, на скільки можна зсунути на осі часу початок виконання роботи за умови, що всі інші роботи мережі будуть виконуватися якнайраніше, тобто є максимально можливою затримкою у виконанні роботи, яка ще не приведе до збільшення терміну завершення робіт над проектом.

  • Робота, значення повного резерву часу якої рівне нулеві, знаходиться на критичному шляху.



Вільний:

  • Вільний:

  • показує, на скільки можна зсунути на осі часу початок виконання роботи за умови, що проміжок між раннім та пізнім терміном звершення подій j та i буде постійним і рівним .

  • Вільний резерв часу – це показник максимальної затримки роботи (i,j), яка не впливатиме на початок наступних робіт.

  • В цьому випадку теж вважається, що попередні роботи завершаться якнайраніше.



Незалежний резерв часу роботи є величиною затримки у виконанні роботи за найнесприятливіших умов.

  • Незалежний резерв часу роботи є величиною затримки у виконанні роботи за найнесприятливіших умов.

  • Нуль введений для того, щоб виключити від’ємні значення оскільки від’ємні значення є також показником можливого ступеня порушення зв’язку між роботами проекту.



Гарантований:

  • Гарантований:

  • є величиною максимально можливої затримки роботи, яка не впливає на остаточний термін завершення проекту загалом за умови, що передуючі роботи виконуються з запізненням.

  • Цей показник є одним з найзручніших, так як допускає затримку лише наступних робіт, але не проекту загалом.



Розраховуємо ранні та пізні терміни звершення подій.

  • Розраховуємо ранні та пізні терміни звершення подій.

  • Визначаємо резерви часу подій та критичний шлях. Резерви часу подій розраховуємо на ґрунті пізніх та ранніх термінів їх звершення. Критичний шлях проходить через події, резерви часу яких нульові.

  • Визначаємо ранні та пізні терміни початку та завершення робіт.

  • Розраховуємо резерви часу робіт.

  • Оптимізуємо розподіл ресурсів, що витрачаються на виконання робіт.



Одним з видів менеджменту є планування діяльності.

  • Одним з видів менеджменту є планування діяльності.

  • Якщо розглядати планування стосовно виробничих об’єктів то воно здебільшого поділяється на планування у часі (декада, місяць, тиждень):

  • короткотермінове планування на місяць (оперативно-календарний план);

  • середньострокове планування – квартал, півріччя, рік (для виробничих об’єктів називається техніко-економічним плануванням або бізнес-плануванням);

  • довгострокове планування називається стратегічним плануванням (прогнозування) – до 5 років, до 15 років.



Постановка задачі.

  • Постановка задачі.

  • На n верстатах або групах обладнання необхідно обробити m партій деталей (виробів).

  • Для кожної деталі (виробу) даний технологічний маршрут (послідовність руху виробу від однієї групи обладнання до іншої).

  • Необхідно знайти таку послідовність обробки деталей або виробу при якій мінімізується загальний час виготовлення продукції.



На перший погляд задача не є складною але на сьогоднішній день ця задача має точний аналітичний розв’язок лише для випадку 2 верстатів, а також наближений розв’язок для випадку 3 верстатів.

  • На перший погляд задача не є складною але на сьогоднішній день ця задача має точний аналітичний розв’язок лише для випадку 2 верстатів, а також наближений розв’язок для випадку 3 верстатів.

  • Щодо більшої кількості обладнання, всі спроби отримати аналітичний розв’язок є невдалими.

  • Ця задача за своїм характером є комбінаторною і її розв’язок потрібно шукати серед варіантів, тому для практичного планування має значення задача 2-х верстатів та її модифікація – задача 3-х верстатів.



Розглянемо постановку задачі оптимальної послідовності обробки деталей для випадку двох верстатів, як частковий випадок попередньої задачі.

  • Розглянемо постановку задачі оптимальної послідовності обробки деталей для випадку двох верстатів, як частковий випадок попередньої задачі.

  • Необхідно оптимізувати послідовність запуску у виробництво m деталей, що проходять обробку на двох групах обладнання

  • Критерій оптимальності – мінімальна тривалість обробки всіх деталей (партій деталей, виробів ).



Розв’язок цієї задачі отримано Джонсоном у 1953 році. Тому ця задача називається задачею Джонсона.

  • Розв’язок цієї задачі отримано Джонсоном у 1953 році. Тому ця задача називається задачею Джонсона.

  • На І кроці будується таблиця із значеннями трудомісткості обробки деталей на першому і другому верстатах.

  • Якщо трудомісткість – час обробки або виготовлення деталі (виробу), то вхідні параметри зручно подати у вигляді такої таблиці:





На ІІ етапі визначається мінімальне число серед ai та bi.

  • На ІІ етапі визначається мінімальне число серед ai та bi.

  • Нехай таким числом виявилось ak або bl.

  • Якщо таким мінімальним числом виявилось ak то партія деталей k ставиться на обробку першою, якщо ж мінімальним виявилось число bl, то партія l ставиться на обробку останньою.

  • Після цього із таблиць трудомісткості викреслюється рядок, що відноситься до партії деталей поставленої на обробку.

  • На наступному кроці попереднє правило застосовується до решти партій деталей.



Якщо у таблиці трудомісткості виявилось декілька партій деталей з однаковою мінімальною трудомісткістю, то обирається партія з меншим номером.

  • Якщо у таблиці трудомісткості виявилось декілька партій деталей з однаковою мінімальною трудомісткістю, то обирається партія з меншим номером.

  • Якщо для певної партії деталей трудомісткості обробки на двох верстатах рівні, то першою ставиться на обробку ai (черга впорядковується за значенням а).



Крім того для реалізації даного алгоритму необхідно побудувати спеціальні таблиці і графік.

  • Крім того для реалізації даного алгоритму необхідно побудувати спеціальні таблиці і графік.

  • Зокрема, як результат реалізації алгоритму будується таблиця черговості запуску у виробництво партій деталей на підставі якої складається часовий графік завантаження обладнання.



Часовий графік будується у два етапи:

  • Часовий графік будується у два етапи:

  • На І етапі будується знеособлений часовий графік, який не враховує режим роботи підприємства (змінність, перерви, вихідні та святкові дні) і по-друге не враховує конкретні дати.

  • На ІІ етапі здійснюється прив’язка часового графіку до режиму роботи підприємства, починаючи з конкретної дати.

  • На основі часового графіку складається календарний план-графік запуску-випуску партій деталей.

  • Для будь-якої кількості партій деталей m задача оптимальної послідовності обробки для випадку двох верстатів має простий і точний розв’язок.



На практиці деталі рідко обробляються тільки на двох верстатах.

  • На практиці деталі рідко обробляються тільки на двох верстатах.

  • Тому для реалізації цього методу необхідно:

  • серед всіх операцій виділити дві найбільш важливі (за витратами і тривалістю) і саме на ці операції орієнтуватися при черговості запуску у виробництво;

  • шляхом агрегування технологічний процес зводиться до двох етапів, а далі розв’язується на оптимум агрегована задача.



Задача двох верстатів є універсальною.

  • Задача двох верстатів є універсальною.

  • Тим не менше при дотриманні деяких умов розглянутий алгоритм можна буде застосувати і до задачі трьох верстатів.

  • Нехай як і у попередній задачі:

  • – трудомісткість обробки і-тої деталі на І верстаті;

  • – трудомісткість обробки і-тої деталі на ІІ верстаті;

  • сі – трудомісткість обробки і-тої деталі на ІІІ верстаті.



Якщо виконується одна з двох умов:

  • Якщо виконується одна з двох умов:

  • або

  • то задача трьох верстатів може бути розв’язана за правилами аналогічними методам розв’язку задачі про два верстати.



При цьому порівнюється сумарний час виконання операції та

  • При цьому порівнюється сумарний час виконання операції та

  • зокрема деталі для яких трудомісткість

  • обробляються у порядку зростання величини

  • Після цього обробляються деталі для яких

  • у порядку зменшення величин

  • Наведений алгоритм називається модифікацією алгоритму Джонсона для трьох верстатів.



Контрольні запитання до теми 3:

  • Контрольні запитання до теми 3:

  • Що таке теорія графів? Чим вона відрізняється від інших математичних теорій?

  • Опишіть задачу мінімізації сітки. Згідно якого алгоритму вона розв’язується?

  • Опишіть задачу про найкоротший шлях. В чому її суть?

  • Що таке задачі календарного планування? Які їх основні елементи?

  • Назвіть основні параметри детермінованої мережі. Дайте їх коротку характеристику.

  • Опишіть задачу оптимальної послідовності обробки. Опишіть етапи її розв’язку.





Схожі:

Теорія графів – спеціальний розділ математичного програмування, який вивчає кількісні і якісні характеристики графів iconТема: Основні поняття теорії графів. Способи представлення графів. Пошук у ширину та глибину
Теорія графів — розділ математики, що дає змогу формалізувати взаємозв'язки між різноманітними видами інформації, організувати абстрактне...
Теорія графів – спеціальний розділ математичного програмування, який вивчає кількісні і якісні характеристики графів iconТема № математичні основи теорії алгоритмів. 4 Елементи теорії графів
Широко використовується теорія графів при рішенні різних задач на обчислювальних машинах. Вірогідно і те, що теорія графів служить...
Теорія графів – спеціальний розділ математичного програмування, який вивчає кількісні і якісні характеристики графів iconТема 2: «Основи теорії графів»
Тема: Основні поняття теорії графів. Способи представлення графів. Пошук у ширину та глибину
Теорія графів – спеціальний розділ математичного програмування, який вивчає кількісні і якісні характеристики графів icon1. Вступна частина
Якісні та кількісні характеристики іонізуючих випромінювань та радіонуклідів, їх одиниці
Теорія графів – спеціальний розділ математичного програмування, який вивчає кількісні і якісні характеристики графів iconUk wikipedia org Уре Х 8
Динаміка розвитку Вікіпедій, кількісні і якісні їх характеристики впливають на майбутнє національних культур і мов, а відтак і історії...
Теорія графів – спеціальний розділ математичного програмування, який вивчає кількісні і якісні характеристики графів iconАлгоритми, а заодно і їх теорію й аналіз. Основними математичними складової теорії алгоритмів виявилися теорія множин, математична логіка й теорія графів
Пізнання завжди шукало способи опису алгоритмів. І застосовуючи природну мову пізнання математикові, необхідно визначити у ній ті...
Теорія графів – спеціальний розділ математичного програмування, який вивчає кількісні і якісні характеристики графів iconТеорія масового обслуговування (queue(ing) theory) – спеціальний розділ математики, основою якого є теорія ймовірності
Смо за незмінних умов, наперед заданих вхідних характеристиках системи: структурі системи, дисципліні обслуговування, потоках вимог...
Теорія графів – спеціальний розділ математичного програмування, який вивчає кількісні і якісні характеристики графів iconВплив родини графів Браницьких на економічний, соціальний, культурний розвиток Білоцерківщини браницьк І
Вплив родини графів Браницьких на економічний, соціальний, культурний розвиток Білоцерківщини
Теорія графів – спеціальний розділ математичного програмування, який вивчає кількісні і якісні характеристики графів iconОсновні поняття теорії графів Сукупність точок та ліній, зображена на малюнку і є графом
Лінія на графі, яка не проходить вздовж жодного його ребра більш ніж один раз, називається
Теорія графів – спеціальний розділ математичного програмування, який вивчає кількісні і якісні характеристики графів iconГемодинаміка – розділ фізіології кровообігу, який вивчає причини, умови і механізми переміщення крові в серцево-судинній системі
Гемодинаміка розділ фізіології кровообігу, який вивчає причини, умови і механізми переміщення крові в серцево-судинній системі

Додайте кнопку на своєму сайті:
dok.znaimo.com.ua


База даних захищена авторським правом ©dok.znaimo.com.ua 2013
звернутися до адміністрації
dok.znaimo.com.ua
Головна сторінка